Dopo tante lezioni sulle trasformate di Fourier e Laplace, dettate da un'intuizione più che lecita (i coefficienti dei termini di Taylor e di Fourier sono vagamente simili), ho inventato l'operatore trans-trasformazionale di Carlesso (o più semplicemente meta-trasformazionale, in un secondo momento deciderò se serva effettivamente a qualcosa!):
Carl[f(x)](x) = g(x)
così definito:
Sia f(x) sviluppabile in serie di Fourier: f(x)=a0+a1cos(x)+b1sen(x)+...+ancos(nx)+bnsen(nx)
(Non che sia necessariamente necessario, almeno secondo me, ma per ora semplifica tutto). Definisco l'operatore funzionale Carl come agente sulle seguenti funzioni
1 --> 1
cos(x) --> x
sen(x) --> ix
...
cos(nx) --> xn
sen(nx) --> ixn
Ecco che così ottengo da una serie di potenze una serie di Taylor (eventualmente convergente: purtroppo non ne ho la certezza); ho una trasformata che mangia una funzione da R in R e sputa fuori una funzione da R in C. Essa è ovviamente lineare (eccheccavolo!) ma purtroppo non ha proprietà 'belle' come le trasformate di Laplace e Fourier per le derivate. Si ottengono però trasformate interessanti: funzioni insospettabili si trasformano in logaritmi o arcotangenti! (La settimana prossima se riesco scrivo alcune trasformate notevoli).